Symmetriegruppen der dichtesten Kugelpackungen im Wuerfel Autor: Hugo Pfoertner http://www.pfoertner.org/ Speicherort dieser Datei: http://www.randomwalk.de/sphere/incube/sphincubsyms.txt Stand 29. Mai 2005 Die zugehoerigen Koordinatendateien sind unter https://www.randomwalk.de/sequences/a084824.txt sowie in andererem Format https://www.randomwalk.de/sphere/incube/sequences.txt gespeichert. Eine graphische Darstellung der Konfigurationen unter Verwendung dieser Dateien ist mit einem Java-Applet von Martin Erren moeglich: http://www.mycgiserver.com/~merren/sphere_packing/SpherePacking.html Vorbemerkung: Der vor N=.. angegebene Zahlenwert ist die kleinste Toleranz > 0.001, fuer die die angegebene Symmetrie identifiziert wird. Liegt dieser Wert ueber 0.005, (z.B 0.02) so kann das bedeuten, dass die angegebene Symmetrie in Wirklichkeit nicht vorliegt. Manchmal kann es aber durch Nachoptimieren gelingen, mit dieser Information tatsaechlich eine Konfiguration mit diesen Symmetrieeigenschaften herzustellen. Konfigurationen fuer die keine Daten angegeben sind, weisen keine identifizierbaren Symmetrien auf (Beispiele N=25,28,36,...). 0.001 N= 4 ( 1)( 2)( 3)( 4) ( 1)( 2)( 3 4) ( 1)( 2 3)( 4) ( 1)( 2 3 4) ( 1)( 2 4 3) ( 1)( 2 4)( 3) ( 1 2)( 3)( 4) ( 1 2)( 3 4) ( 1 2 3)( 4) ( 1 2 3 4) ( 1 2 4 3) ( 1 2 4)( 3) ( 1 3 2)( 4) ( 1 3 4 2) ( 1 3)( 2)( 4) ( 1 3 4)( 2) ( 1 3)( 2 4) ( 1 3 2 4) ( 1 4 3 2) ( 1 4 2)( 3) ( 1 4 3)( 2) ( 1 4)( 2)( 3) ( 1 4 2 3) ( 1 4)( 2 3) Tetrahedron C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.001 N= 5 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5) ( 1)( 2)( 3)( 4 5) ( 1)( 2 4)( 3)( 5) ( 1)( 2 4 5)( 3) ( 1)( 2 5 4)( 3) ( 1)( 2 5)( 3)( 4) ( 1 3)( 2)( 4)( 5) ( 1 3)( 2)( 4 5) ( 1 3)( 2 4)( 5) ( 1 3)( 2 4 5) ( 1 3)( 2 5 4) ( 1 3)( 2 5)( 4) dihedral O 12 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.001 N= 6 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6) ( 1)( 2)( 3 4)( 5)( 6) ( 1)( 2 3)( 4 6)( 5) ( 1)( 2 3 6 4)( 5) ( 1)( 2 4 6 3)( 5) ( 1)( 2 4)( 3 6)( 5) ( 1)( 2 6)( 3)( 4)( 5) ( 1)( 2 6)( 3 4)( 5) ( 1 5)( 2)( 3)( 4)( 6) ( 1 5)( 2)( 3 4)( 6) ( 1 5)( 2 3)( 4 6) ( 1 5)( 2 3 6 4) ( 1 5)( 2 4 6 3) ( 1 5)( 2 4)( 3 6) ( 1 5)( 2 6)( 3)( 4) ( 1 5)( 2 6)( 3 4) ( 1 2)( 3)( 4)( 5 6) ( 1 2)( 3 4)( 5 6) ( 1 2 5 6)( 3)( 4) ( 1 2 5 6)( 3 4) ( 1 2 3)( 4 5 6) ( 1 2 3 5 6 4) ( 1 2 4 5 6 3) ( 1 2 4)( 3 5 6) ( 1 3 2)( 4 6 5) ( 1 3 6 5 4 2) ( 1 3 2 5 4 6) ( 1 3 6)( 2 5 4) ( 1 3)( 2)( 4 5)( 6) ( 1 3 5 4)( 2)( 6) ( 1 3)( 2 6)( 4 5) ( 1 3 5 4)( 2 6) ( 1 4 6 5 3 2) ( 1 4 2)( 3 6 5) ( 1 4 6)( 2 5 3) ( 1 4 2 5 3 6) ( 1 4 5 3)( 2)( 6) ( 1 4)( 2)( 3 5)( 6) ( 1 4 5 3)( 2 6) ( 1 4)( 2 6)( 3 5) ( 1 6 5 2)( 3)( 4) ( 1 6 5 2)( 3 4) ( 1 6)( 2 5)( 3)( 4) ( 1 6)( 2 5)( 3 4) ( 1 6 4 5 2 3) ( 1 6 4)( 2 3 5) ( 1 6 3)( 2 4 5) ( 1 6 3 5 2 4) Octahedron C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.001 N= 7 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7) ( 1)( 2 3)( 4)( 5 6)( 7) ( 1 2)( 3)( 4 5)( 6)( 7) ( 1 2 3)( 4 5 6)( 7) ( 1 3 2)( 4 6 5)( 7) ( 1 3)( 2)( 4 6)( 5)( 7) dihedral O 6 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.001 N= 8 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8) ( 1)( 2)( 3 5)( 4 6)( 7)( 8) ( 1)( 2 3)( 4)( 5)( 6 7)( 8) ( 1)( 2 3 5)( 4 7 6)( 8) ( 1)( 2 5 3)( 4 6 7)( 8) ( 1)( 2 5)( 3)( 4 7)( 6)( 8) ( 1 8)( 2 4)( 3 6)( 5 7) ( 1 8)( 2 4 3 7 5 6) ( 1 8)( 2 6 5 7 3 4) ( 1 8)( 2 6)( 3 7)( 4 5) ( 1 8)( 2 7)( 3 4)( 5 6) ( 1 8)( 2 7)( 3 6)( 4 5) ( 1 2)( 3 4)( 5 6)( 7 8) ( 1 2)( 3 6)( 4 5)( 7 8) ( 1 2 4 3)( 5 6 8 7) ( 1 2 4 8 7 5)( 3 6) ( 1 2 6 8 7 3)( 4 5) ( 1 2 6 5)( 3 4 8 7) ( 1 3 4 2)( 5 7 8 6) ( 1 3 7 8 6 2)( 4 5) ( 1 3)( 2 4)( 5 7)( 6 8) ( 1 3 7 5)( 2 4 8 6) ( 1 3)( 2 7)( 4 5)( 6 8) ( 1 3 4 8 6 5)( 2 7) ( 1 4 6 7)( 2 8 5 3) ( 1 4 7)( 2 8 5)( 3)( 6) ( 1 4 6)( 2)( 3 8 5)( 7) ( 1 4)( 2)( 3)( 5 8)( 6)( 7) ( 1 4 7 6)( 2 3 8 5) ( 1 4)( 2 3)( 5 8)( 6 7) ( 1 5 7 8 4 2)( 3 6) ( 1 5 6 2)( 3 7 8 4) ( 1 5 7 3)( 2 6 8 4) ( 1 5)( 2 6)( 3 7)( 4 8) ( 1 5 6 8 4 3)( 2 7) ( 1 5)( 2 7)( 3 6)( 4 8) ( 1 6 7)( 2 8 3)( 4)( 5) ( 1 6 4 7)( 2 8 3 5) ( 1 6)( 2)( 3 8)( 4)( 5)( 7) ( 1 6 4)( 2)( 3 5 8)( 7) ( 1 6)( 2 5)( 3 8)( 4 7) ( 1 6 7 4)( 2 5 8 3) ( 1 7)( 2 8)( 3)( 4)( 5)( 6) ( 1 7)( 2 8)( 3 5)( 4 6) ( 1 7 6)( 2 3 8)( 4)( 5) ( 1 7 6 4)( 2 3 5 8) ( 1 7 4 6)( 2 5 3 8) ( 1 7 4)( 2 5 8)( 3)( 6) Cube C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.001 N= 9 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9) ( 1)( 2)( 3 6)( 4 7)( 5)( 8)( 9) ( 1)( 2 3)( 4)( 5)( 6)( 7 8)( 9) ( 1)( 2 3 6)( 4 8 7)( 5)( 9) ( 1)( 2 6 3)( 4 7 8)( 5)( 9) ( 1)( 2 6)( 3)( 4 8)( 5)( 7)( 9) ( 1 9)( 2 4)( 3 7)( 5)( 6 8) ( 1 9)( 2 4 3 8 6 7)( 5) ( 1 9)( 2 7 6 8 3 4)( 5) ( 1 9)( 2 7)( 3 8)( 4 6)( 5) ( 1 9)( 2 8)( 3 4)( 5)( 6 7) ( 1 9)( 2 8)( 3 7)( 4 6)( 5) ( 1 2)( 3 4)( 5)( 6 7)( 8 9) ( 1 2)( 3 7)( 4 6)( 5)( 8 9) ( 1 2 4 3)( 5)( 6 7 9 8) ( 1 2 4 9 8 6)( 3 7)( 5) ( 1 2 7 9 8 3)( 4 6)( 5) ( 1 2 7 6)( 3 4 9 8)( 5) ( 1 3 4 2)( 5)( 6 8 9 7) ( 1 3 8 9 7 2)( 4 6)( 5) ( 1 3)( 2 4)( 5)( 6 8)( 7 9) ( 1 3 8 6)( 2 4 9 7)( 5) ( 1 3)( 2 8)( 4 6)( 5)( 7 9) ( 1 3 4 9 7 6)( 2 8)( 5) ( 1 4 7 8)( 2 9 6 3)( 5) ( 1 4 8)( 2 9 6)( 3)( 5)( 7) ( 1 4 7)( 2)( 3 9 6)( 5)( 8) ( 1 4)( 2)( 3)( 5)( 6 9)( 7)( 8) ( 1 4 8 7)( 2 3 9 6)( 5) ( 1 4)( 2 3)( 5)( 6 9)( 7 8) ( 1 6 8 9 4 2)( 3 7)( 5) ( 1 6 7 2)( 3 8 9 4)( 5) ( 1 6 8 3)( 2 7 9 4)( 5) ( 1 6)( 2 7)( 3 8)( 4 9)( 5) ( 1 6 7 9 4 3)( 2 8)( 5) ( 1 6)( 2 8)( 3 7)( 4 9)( 5) ( 1 7 8)( 2 9 3)( 4)( 5)( 6) ( 1 7 4 8)( 2 9 3 6)( 5) ( 1 7)( 2)( 3 9)( 4)( 5)( 6)( 8) ( 1 7 4)( 2)( 3 6 9)( 5)( 8) ( 1 7)( 2 6)( 3 9)( 4 8)( 5) ( 1 7 8 4)( 2 6 9 3)( 5) ( 1 8)( 2 9)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7) ( 1 8)( 2 9)( 3 6)( 4 7)( 5) ( 1 8 7)( 2 3 9)( 4)( 5)( 6) ( 1 8 7 4)( 2 3 6 9)( 5) ( 1 8 4 7)( 2 6 3 9)( 5) ( 1 8 4)( 2 6 9)( 3)( 5)( 7) S4 x C2 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.001 N= 10 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10) ( 1)( 2)( 3 7)( 4 8)( 5)( 6)( 9)(10) ( 1 3)( 2 4)( 5)( 6)( 7 9)( 8 10) ( 1 3 9 7)( 2 4 10 8)( 5)( 6) ( 1 7 9 3)( 2 8 10 4)( 5)( 6) ( 1 7)( 2 8)( 3 9)( 4 10)( 5)( 6) ( 1 9)( 2 10)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8) ( 1 9)( 2 10)( 3 7)( 4 8)( 5)( 6) dihedral O 8 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.001 N= 11 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11) ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6 7)( 8 9)(10 11) mirror O 2 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. Die von Th. Gensane gefundene Konfiguration 0.001 N= 12 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12) ( 1 8)( 2 3)( 4 6)( 5 10)( 7 9)(11 12) ( 1 4)( 2 3)( 5)( 6 8)( 7 9)(10)(11 12) ( 1 6)( 2)( 3)( 4 8)( 5 10)( 7)( 9)(11)(12) dihedral O 4 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. Da die Konfiguration fuer N=13 durch Weglassen von 1 beliebigen Kugel der optimalen Konfiguration fuer N=14 erzeugt werden kann, ist die angegebene Symmetrie eventuell nicht die einzig moegliche. 0.001 N= 13 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13) ( 1 6)( 2)( 3 12)( 4)( 5 10)( 7 13)( 8)( 9)(11) ( 1 7 13 6)( 2 3 9 12)( 4 5 11 10)( 8) ( 1)( 2 3)( 4 5)( 6 7)( 8)( 9 12)(10 11)(13) ( 1 7)( 2 9)( 3)( 4 11)( 5)( 6 13)( 8)(10)(12) ( 1 13)( 2 9)( 3 12)( 4 11)( 5 10)( 6 7)( 8) ( 1 13)( 2 12)( 3 9)( 4 10)( 5 11)( 6)( 7)( 8) ( 1 6 13 7)( 2 12 9 3)( 4 10 11 5)( 8) dihedral O 8 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.001 N= 14 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14) ( 1)( 2 5)( 3)( 4)( 6 7)( 8 9)(10)(11 13)(12)(14) ( 1 7 6)( 2 10 5)( 3)( 4 11 13)( 8 14 9)(12) ( 1 7)( 2)( 3)( 4 11)( 5 10)( 6)( 8)( 9 14)(12)(13) ( 1 6)( 2 10)( 3)( 4 13)( 5)( 7)( 8 14)( 9)(11)(12) ( 1 6 7)( 2 5 10)( 3)( 4 13 11)( 8 9 14)(12) ( 1 9)( 2 13)( 3 12)( 4 5)( 6 8)( 7 14)(10 11) ( 1 9 6 14 7 8)( 2 4 5 13 10 11)( 3 12) ( 1 8 7 14 6 9)( 2 11 10 13 5 4)( 3 12) ( 1 8)( 2 4)( 3 12)( 5 11)( 6 14)( 7 9)(10 13) ( 1 14)( 2 13)( 3 12)( 4 10)( 5 11)( 6 8)( 7 9) ( 1 14)( 2 11)( 3 12)( 4 10)( 5 13)( 6 9)( 7 8) ( 1)( 2)( 3 4)( 5)( 6 9)( 7 8)(10 12)(11)(13)(14) ( 1)( 2 5)( 3 4)( 6 8)( 7 9)(10 12)(11 13)(14) ( 1 8 7)( 2)( 3 4 11)( 5 12 10)( 6 9 14)(13) ( 1 8 14 6)( 2 12 10 5)( 3 4 11 13)( 7 9) ( 1 9 14 7)( 2 5 12 10)( 3 4 13 11)( 6 8) ( 1 9 6)( 2 12 10)( 3 4 13)( 5)( 7 8 14)(11) ( 1 9 8 14 7 6)( 2 13)( 3 5 4 12 11 10) ( 1 9 14 7)( 2 4 12 11)( 3 5 13 10)( 6)( 8) ( 1)( 2 4)( 3 5)( 6)( 7 9)( 8)(10 13)(11 12)(14) ( 1)( 2 3 5 4)( 6 9 8 7)(10 13 12 11)(14) ( 1 6)( 2 13)( 3 5)( 4 10)( 7 9)( 8 14)(11 12) ( 1 6 9 14 8 7)( 2 3 5 13 12 11)( 4 10) ( 1 8 14 6)( 2 11 10 3)( 4 12 13 5)( 7)( 9) ( 1 8 9 14 6 7)( 2 4 12 13 10 3)( 5 11) ( 1)( 2 4 5 3)( 6 7 8 9)(10 11 12 13)(14) ( 1)( 2 3)( 4 5)( 6 8)( 7)( 9)(10 11)(12 13)(14) ( 1 7 8 14 9 6)( 2 11 12 13 5 3)( 4 10) ( 1 7)( 2 3)( 4 10)( 5 11)( 6 8)( 9 14)(12 13) ( 1 14)( 2 13)( 3 10)( 4 12)( 5 11)( 6 7)( 8 9) ( 1 14)( 2 11)( 3 10)( 4 12)( 5 13)( 6)( 7)( 8)( 9) ( 1 6 7 14 8 9)( 2 13)( 3 10 11 12 4 5) ( 1 6 14 8)( 2 3 10 11)( 4 5 13 12)( 7)( 9) ( 1 7 14 9)( 2 11 12 4)( 3 10 13 5)( 6)( 8) ( 1 7 6 14 9 8)( 2 3 10 13 12 4)( 5 11) ( 1 7 14 9)( 2 10 12 5)( 3 11 13 4)( 6 8) ( 1 7 8)( 2)( 3 11 4)( 5 10 12)( 6 14 9)(13) ( 1 8)( 2)( 3 11)( 4)( 5 12)( 6 14)( 7)( 9)(10)(13) ( 1 8 9)( 2 12 5)( 3 11 13)( 4)( 6 7 14)(10) ( 1 14)( 2 10)( 3 11)( 4 13)( 5 12)( 6 8)( 7)( 9) ( 1 14)( 2 12 5 10)( 3 11 4 13)( 6 7 8 9) ( 1 6 9)( 2 10 12)( 3 13 4)( 5)( 7 14 8)(11) ( 1 6 14 8)( 2 5 10 12)( 3 13 11 4)( 7 9) ( 1 9 8)( 2 5 12)( 3 13 11)( 4)( 6 14 7)(10) ( 1 9)( 2 12)( 3 13)( 4)( 5)( 6)( 7 14)( 8)(10)(11) ( 1 14)( 2 10 5 12)( 3 13 4 11)( 6 9 8 7) ( 1 14)( 2 12)( 3 13)( 4 11)( 5 10)( 6)( 7 9)( 8) S4 x C2 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.001 N= 15 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15) ( 1 4)( 2)( 3 5)( 6)( 7 9)( 8)(10)(11 13)(12 15)(14) ( 1)( 2)( 3 7)( 4 10)( 5 11)( 6 12)( 8)( 9 13)(14)(15) ( 1 4 10)( 2)( 3 9 11)( 5 13 7)( 6 15 12)( 8)(14) ( 1 10 4)( 2)( 3 11 9)( 5 7 13)( 6 12 15)( 8)(14) ( 1 10)( 2)( 3 13)( 4)( 5 9)( 6 15)( 7 11)( 8)(12)(14) ( 1 6)( 2 14)( 3)( 4 12)( 5 7)( 8)( 9 11)(10 15)(13) ( 1 6 4 15 10 12)( 2 14)( 3 5 9 13 11 7)( 8) ( 1 12 10 15 4 6)( 2 14)( 3 7 11 13 9 5)( 8) ( 1 15)( 2 14)( 3 9)( 4 6)( 5)( 7 13)( 8)(10 12)(11) ( 1 12)( 2 14)( 3 11)( 4 15)( 5 13)( 6 10)( 7)( 8)( 9) ( 1 15)( 2 14)( 3 13)( 4 12)( 5 11)( 6 10)( 7 9)( 8) dihedral O 12 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.001 N= 16 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16) ( 1 11 10)( 2 7 3)( 4 14 12)( 5 6 15)( 8 9 16)(13) ( 1 10 11)( 2 3 7)( 4 12 14)( 5 15 6)( 8 16 9)(13) cyclic O 3 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.001 N= 17 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17) ( 1 6)( 2)( 3 12)( 4 8)( 5 14)( 7)( 9 13)(10)(11 16)(15)(17) ( 1 9 12)( 2 4 8)( 3 13 6)( 5 17 14)( 7)(10 11 16)(15) ( 1 3)( 2 4)( 5)( 6 9)( 7)( 8)(10 11)(12 13)(14 17)(15)(16) ( 1 12 9)( 2 8 4)( 3 6 13)( 5 14 17)( 7)(10 16 11)(15) ( 1 13)( 2 8)( 3 9)( 4)( 5 17)( 6 12)( 7)(10 16)(11)(14)(15) dihedral O 6 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.001 N= 18 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18) ( 1 7)( 2 12)( 3 16)( 4)( 5)( 6 13)( 8)( 9 17)(10 18)(11)(14)(15) ( 1 10 18 7)( 2 9 17 12)( 3 15 16 4)( 5 6 14 13)( 8)(11) ( 1)( 2)( 3 4)( 5 6)( 7 10)( 8)( 9 12)(11)(13 14)(15 16)(17)(18) ( 1 18)( 2 17)( 3 15)( 4 16)( 5 13)( 6 14)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12) ( 1 7 18 10)( 2 12 17 9)( 3 4 16 15)( 5 13 14 6)( 8)(11) ( 1 18)( 2 17)( 3 16)( 4 15)( 5 14)( 6 13)( 7 10)( 8)( 9 12)(11) ( 1 10)( 2 9)( 3)( 4 15)( 5 14)( 6)( 7 18)( 8)(11)(12 17)(13)(16) dihedral O 8 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. "near symmetry" 0.030 N= 19 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19) ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6 7)( 8 9)(10 11)(12 13)(14 15)(16 17)(18 19) mirror O 2 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.003 N= 20 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20) ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5 13)( 6 12)( 7 15)( 8 14)( 9)(10 19)(11 20)(16)(17 18) mirror O 2 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.001 N= 21 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21) ( 1)( 2 3 5)( 4 7 6)( 8)( 9 17 13)(10 19 15)(11 18 14)(12 20 16)(21) ( 1)( 2 5 3)( 4 6 7)( 8)( 9 13 17)(10 15 19)(11 14 18)(12 16 20)(21) ( 1 8)( 2 4 3 7 5 6)( 9 16 17 12 13 20)(10 14 19 11 15 18)(21) ( 1 8)( 2 6 5 7 3 4)( 9 20 13 12 17 16)(10 18 15 11 19 14)(21) ( 1 8)( 2 7)( 3 6)( 4 5)( 9 12)(10 11)(13 16)(14 15)(17 20)(18 19)(21) ( 1 2)( 3 4)( 5 6)( 7 8)( 9 10)(11 12)(13)(14)(15)(16)(17 18)(19 20)(21) ( 1 2 4 8 7 5)( 3 6)( 9 18 14 12 19 15)(10 20 16 11 17 13)(21) ( 1 2 6 8 7 3)( 4 5)( 9 13 18 12 16 19)(10 15 20 11 14 17)(21) ( 1 3 7 8 6 2)( 4 5)( 9 19 16 12 18 13)(10 17 14 11 20 15)(21) ( 1 3)( 2 4)( 5 7)( 6 8)( 9)(10)(11)(12)(13 14)(15 16)(17 19)(18 20)(21) ( 1 3 4 8 6 5)( 2 7)( 9 14 20 12 15 17)(10 16 18 11 13 19)(21) ( 1 4 7)( 2 8 5)( 3)( 6)( 9 14 19)(10 16 17)(11 13 20)(12 15 18)(21) ( 1 4 6)( 2)( 3 8 5)( 7)( 9 20 15)(10 18 13)(11 19 16)(12 17 14)(21) ( 1 4)( 2 3)( 5 8)( 6 7)( 9 10)(11 12)(13 14)(15 16)(17 20)(18 19)(21) ( 1 5 7 8 4 2)( 3 6)( 9 15 19 12 14 18)(10 13 17 11 16 20)(21) ( 1 5)( 2 6)( 3 7)( 4 8)( 9 11)(10 12)(13 15)(14 16)(17)(18)(19)(20)(21) ( 1 5 6 8 4 3)( 2 7)( 9 17 15 12 20 14)(10 19 13 11 18 16)(21) ( 1 6 7)( 2 8 3)( 4)( 5)( 9 18 16)(10 20 14)(11 17 15)(12 19 13)(21) ( 1 6 4)( 2)( 3 5 8)( 7)( 9 15 20)(10 13 18)(11 16 19)(12 14 17)(21) ( 1 6)( 2 5)( 3 8)( 4 7)( 9 12)(10 11)(13 15)(14 16)(17 18)(19 20)(21) ( 1 7)( 2 8)( 3 5)( 4 6)( 9 11)(10 12)(13 16)(14 15)(17 19)(18 20)(21) ( 1 7 6)( 2 3 8)( 4)( 5)( 9 16 18)(10 14 20)(11 15 17)(12 13 19)(21) ( 1 7 4)( 2 5 8)( 3)( 6)( 9 19 14)(10 17 16)(11 20 13)(12 18 15)(21) A4 x C2 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.001 N= 22 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22) ( 1)( 2 10)( 3)( 4)( 5 9)( 6 13)( 7 11)( 8 14)(12 22)(15)(16 20)(17 18)(19)(21) ( 1)( 2 21)( 3 22)( 4 6)( 5)( 7)( 8 20)( 9 19)(10)(11 15)(12)(13)(14 17)(16 18) ( 1)( 2 10 21)( 3 22 12)( 4 6 13)( 5 19 9)( 7 15 11)( 8 17 16)(14 20 18) ( 1)( 2 21 10)( 3 12 22)( 4 13 6)( 5 9 19)( 7 11 15)( 8 16 17)(14 18 20) ( 1)( 2)( 3 12)( 4 13)( 5 19)( 6)( 7 15)( 8 18)( 9)(10 21)(11)(14 16)(17 20)(22) ( 1 7)( 2 9)( 3 14)( 4 8)( 5)( 6 20)(10)(11 15)(12 13)(16 18)(17 22)(19 21) ( 1 7 15 11)( 2 10 9 5)( 3 14 4 8)( 6 12 17 16)(13 20 18 22)(19 21) ( 1 7 11 15)( 2 9)( 3 13 8 16)( 4 12 14 18)( 5 21 10 19)( 6 20 22 17) ( 1 7 15)( 2 19 5)( 3 13 20)( 4 12 17)( 6 8 18)( 9 21 10)(11)(14 16 22) ( 1 7)( 2 19)( 3 17)( 4 20)( 5)( 6 8)( 9 21)(10)(11)(12 13)(14 22)(15)(16)(18) ( 1 7 11)( 2 10 19)( 3 17 18)( 4 20 16)( 5 21 9)( 6 12 14)( 8 22 13)(15) ( 1 11 15 7)( 2 5 9 10)( 3 8 4 14)( 6 16 17 12)(13 22 18 20)(19 21) ( 1 11)( 2)( 3 8)( 4 14)( 5 10)( 6 22)( 7 15)( 9)(12 18)(13 16)(17 20)(19 21) ( 1 11 7)( 2 19 10)( 3 18 17)( 4 16 20)( 5 9 21)( 6 14 12)( 8 13 22)(15) ( 1 11)( 2)( 3 18)( 4 16)( 5 21)( 6 22)( 7)( 8 12)( 9)(10 19)(13 14)(15)(17)(20) ( 1 11 15)( 2 5 21)( 3 6 16)( 4 22 18)( 7)( 8 20 12)( 9 10 19)(13 14 17) ( 1 11 7 15)( 2 19 9 21)( 3 6 14 20)( 4 22 8 17)( 5 10)(12 18 13 16) ( 1 15)( 2 5)( 3 4)( 6 18)( 7)( 8)( 9 10)(11)(12 20)(13 17)(14)(16 22)(19)(21) ( 1 15)( 2 9)( 3 4)( 5 10)( 6 17)( 7 11)( 8 14)(12 16)(13 18)(19)(20 22)(21) ( 1 15 7)( 2 5 19)( 3 20 13)( 4 17 12)( 6 18 8)( 9 10 21)(11)(14 22 16) ( 1 15 7 11)( 2 21 9 19)( 3 20 14 6)( 4 17 8 22)( 5 10)(12 16 13 18) ( 1 15 11 7)( 2 9)( 3 16 8 13)( 4 18 14 12)( 5 19 10 21)( 6 17 22 20) ( 1 15 11)( 2 21 5)( 3 16 6)( 4 18 22)( 7)( 8 12 20)( 9 19 10)(13 17 14) Tetradedron C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.001 N= 23 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23) ( 1)( 2)( 3)( 4 12)( 5 11)( 6 20)( 7 13)( 8 19)( 9 23)(10 15)(14)(16)(17 22)(18)(21) ( 1 21)( 2 18)( 3 14)( 4 5)( 6)( 7 23)( 8 10)( 9 13)(11 12)(15 19)(16)(17)(20)(22) ( 1 21)( 2 18)( 3 14)( 4 11)( 5 12)( 6 20)( 7 9)( 8 15)(10 19)(13 23)(16)(17 22) dihedral O 4 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.001 N= 24 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24) ( 1 12 9)( 2 10 6)( 3 5 15)( 4 16 18)( 7 22 20)( 8 11 17)(13 24 19)(14)(21)(23) ( 1 9 12)( 2 6 10)( 3 15 5)( 4 18 16)( 7 20 22)( 8 17 11)(13 19 24)(14)(21)(23) ( 1 16)( 2 15)( 3 6)( 4 12)( 5 10)( 7 11)( 8 22)( 9 18)(13)(14 23)(17 20)(19 24)(21) ( 1 18)( 2 3)( 4 9)( 5 6)( 7 17)( 8 20)(10 15)(11 22)(12 16)(13 24)(14 23)(19)(21) ( 1 4)( 2 5)( 3 10)( 6 15)( 7 8)( 9 16)(11 20)(12 18)(13 19)(14 23)(17 22)(21)(24) dihedral O 6 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. N= 25 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.001 N= 26 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26) ( 1 2)( 3 6)( 4 7)( 5 8)( 9 12)(10 13)(11 14)(15 18)(16 19)(17 20)(21 24)(22 25)(23 26) ( 1 2)( 3 4 5 6 7 8)( 9 10 11 12 13 14)(15 16 17 18 19 20)(21 22 23 24 25 26) ( 1 2)( 3 8 7 6 5 4)( 9 14 13 12 11 10)(15 20 19 18 17 16)(21 26 25 24 23 22) ( 1)( 2)( 3 5 7)( 4 6 8)( 9 11 13)(10 12 14)(15 17 19)(16 18 20)(21 23 25)(22 24 26) ( 1)( 2)( 3 7 5)( 4 8 6)( 9 13 11)(10 14 12)(15 19 17)(16 20 18)(21 25 23)(22 26 24) cyclic O 6 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.001 N= 27 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27) ( 1)( 2)( 3)( 4 10)( 5 11)( 6 12)( 7 19)( 8 20)( 9 21)(13)(14)(15)(16 22)(17 23)(18 24)(25)(26)(27) ( 1)( 2 4)( 3 7)( 5)( 6 8)( 9)(10)(11 13)(12 16)(14)(15 17)(18)(19)(20 22)(21 25)(23)(24 26)(27) ( 1)( 2 4 10)( 3 7 19)( 5 13 11)( 6 16 20)( 8 22 12)( 9 25 21)(14)(15 17 23)(18 26 24)(27) ( 1)( 2 10 4)( 3 19 7)( 5 11 13)( 6 20 16)( 8 12 22)( 9 21 25)(14)(15 23 17)(18 24 26)(27) ( 1)( 2 10)( 3 19)( 4)( 5 13)( 6 22)( 7)( 8 16)( 9 25)(11)(12 20)(14)(15 23)(17)(18 26)(21)(24)(27) ( 1 27)( 2 18)( 3 9)( 4 24)( 5 15)( 6)( 7 21)( 8 12)(10 26)(11 17)(13 23)(14)(16 20)(19 25)(22) ( 1 27)( 2 18 4 26 10 24)( 3 9 7 25 19 21)( 5 17 13 23 11 15)( 6 8 16 22 20 12)(14) ( 1 27)( 2 24 10 26 4 18)( 3 21 19 25 7 9)( 5 15 11 23 13 17)( 6 12 20 22 16 8)(14) ( 1 27)( 2 24)( 3 21)( 4 26)( 5 23)( 6 20)( 7 25)( 8 22)( 9 19)(10 18)(11 15)(12)(13 17)(14)(16) ( 1 27)( 2 26)( 3 25)( 4 18)( 5 17)( 6 16)( 7 9)( 8)(10 24)(11 23)(12 22)(13 15)(14)(19 21)(20) ( 1 27)( 2 26)( 3 25)( 4 24)( 5 23)( 6 22)( 7 21)( 8 20)( 9 19)(10 18)(11 17)(12 16)(13 15)(14) ( 1 3)( 2)( 4 6)( 5)( 7 9)( 8)(10 12)(11)(13 15)(14)(16 18)(17)(19 21)(20)(22 24)(23)(25 27)(26) ( 1 3)( 2)( 4 12)( 5 11)( 6 10)( 7 21)( 8 20)( 9 19)(13 15)(14)(16 24)(17 23)(18 22)(25 27)(26) ( 1 3 9 7)( 2 6 8 4)( 5)(10 12 18 16)(11 15 17 13)(14)(19 21 27 25)(20 24 26 22)(23) ( 1 3 9 27 25 19)( 2 6 18 26 22 10)( 4 12 8 24 16 20)( 5 15 17 23 13 11)( 7 21)(14) ( 1 3 21 27 25 7)( 2 12 24 26 16 4)( 5 11 15 23 17 13)( 6 20 18 22 8 10)( 9 19)(14) ( 1 3 21 19)( 2 12 20 10)( 4 6 24 22)( 5 15 23 13)( 7 9 27 25)( 8 18 26 16)(11)(14)(17) ( 1 7 9 3)( 2 4 8 6)( 5)(10 16 18 12)(11 13 17 15)(14)(19 25 27 21)(20 22 26 24)(23) ( 1 7 25 27 21 3)( 2 4 16 26 24 12)( 5 13 17 23 15 11)( 6 10 8 22 18 20)( 9 19)(14) ( 1 7)( 2 8)( 3 9)( 4)( 5)( 6)(10 16)(11 17)(12 18)(13)(14)(15)(19 25)(20 26)(21 27)(22)(23)(24) ( 1 7 25 19)( 2 8 26 20)( 3 9 27 21)( 4 16 22 10)( 5 17 23 11)( 6 18 24 12)(13)(14)(15) ( 1 7)( 2 16)( 3 25)( 4)( 5 13)( 6 22)( 8 10)( 9 19)(11 17)(12 26)(14)(15 23)(18 20)(21 27)(24) ( 1 7 9 27 21 19)( 2 16 6 26 12 22)( 3 25)( 4 8 18 24 20 10)( 5 17 15 23 11 13)(14) ( 1 9 21 25)( 2 18 20 16)( 3 27 19 7)( 4 6 24 22)( 5 15 23 13)( 8 12 26 10)(11 17)(14) ( 1 9 25)( 2 18 22)( 3 27 19)( 4 8 16)( 5 17 13)( 6 26 10)( 7)(11 15 23)(12 24 20)(14)(21) ( 1 9 21)( 2 6 12)( 3)( 4 18 20)( 5 15 11)( 7 27 19)( 8 24 10)(13 17 23)(14)(16 26 22)(25) ( 1 9)( 2 6)( 3)( 4 8)( 5)( 7)(10 18)(11 15)(12)(13 17)(14)(16)(19 27)(20 24)(21)(22 26)(23)(25) ( 1 9 25 21)( 2 8 26 20)( 3 7 27 19)( 4 18 22 12)( 5 17 23 11)( 6 16 24 10)(13 15)(14) ( 1 9)( 2 8)( 3 7)( 4 6)( 5)(10 18)(11 17)(12 16)(13 15)(14)(19 27)(20 26)(21 25)(22 24)(23) ( 1 19 25 27 9 3)( 2 10 22 26 18 6)( 4 20 16 24 8 12)( 5 11 13 23 17 15)( 7 21)(14) ( 1 19 21 3)( 2 10 20 12)( 4 22 24 6)( 5 13 23 15)( 7 25 27 9)( 8 16 26 18)(11)(14)(17) ( 1 19 25 7)( 2 20 26 8)( 3 21 27 9)( 4 10 22 16)( 5 11 23 17)( 6 12 24 18)(13)(14)(15) ( 1 19)( 2 20)( 3 21)( 4 22)( 5 23)( 6 24)( 7 25)( 8 26)( 9 27)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18) ( 1 19 21 27 9 7)( 2 22 12 26 6 16)( 3 25)( 4 10 20 24 18 8)( 5 13 11 23 15 17)(14) ( 1 19)( 2 22)( 3 25)( 4 20)( 5 23)( 6 26)( 7 21)( 8 24)( 9 27)(10)(11 13)(12 16)(14)(15 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12)(11 13 17 15)(14) ( 1 25 9)( 2 22 18)( 3 19 27)( 4 16 8)( 5 13 17)( 6 10 26)( 7)(11 23 15)(12 20 24)(14)(21) Cube C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. N= 28 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. Die Konfigurationen fuer N=29 bis N=31 entstehen durch Weglassen beliebiger Kugeln aus der fuer N=32 optimalen Konfiguration und sind damit nur als Beispiele fuer weitere Moeglichkeiten zu betrachten. 0.001 N= 29 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29) ( 1)( 2 5)( 3)( 4 7)( 6)( 8 10)( 9 14)(11 12)(13 15)(16)(17 20)(18)(19 22)(21)(23)(24 25)(26 27)(28 29) ( 1)( 2)( 3 8)( 4 9)( 5 16)( 6 17)( 7 24)(10)(11)(12 18)(13 19)(14 25)(15 26)(20)(21)(22 27)(23 28)(29) ( 1)( 2 16 5)( 3 8 10)( 4 24 14)( 6 17 20)( 7 9 25)(11 18 12)(13 26 22)(15 19 27)(21)(23 28 29) ( 1)( 2 16)( 3 10)( 4 25)( 5)( 6 20)( 7 14)( 8)( 9 24)(11 18)(12)(13 27)(15 22)(17)(19 26)(21)(23 29)(28) ( 1)( 2 5 16)( 3 10 8)( 4 14 24)( 6 20 17)( 7 25 9)(11 12 18)(13 22 26)(15 27 19)(21)(23 29 28) dihedral O 6 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.001 N= 30 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(30) ( 1)( 2 5)( 3)( 4 7)( 6)( 8)( 9 11)(10 15)(12 13)(14 16)(17)(18 21)(19)(20 23)(22)(24)(25 26)(27 28)(29 30) ( 1 8)( 2 4)( 3 6)( 5 7)( 9 14)(10)(11 16)(12)(13)(15)(17 24)(18 20)(19 22)(21 23)(25 29)(26 30)(27)(28) ( 1 8)( 2 7)( 3 6)( 4 5)( 9 16)(10 15)(11 14)(12 13)(17 24)(18 23)(19 22)(20 21)(25 30)(26 29)(27 28) dihedral O 4 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.001 N= 31 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31) ( 1)( 2)( 3 9)( 4 10)( 5 17)( 6 18)( 7 25)( 8 26)(11)(12)(13 19)(14 20)(15 27)(16 28)(21)(22)(23 29)(24 30)(31) ( 1 26 8)( 2 10 4)( 3 18 14)( 5 25 24)( 6 9 20)( 7 17 30)(11 28 16)(12)(13 19 22)(15 27 31)(21 29 23) ( 1 26)( 2 10)( 3 20)( 4)( 5 30)( 6 14)( 7 24)( 8)( 9 18)(11 28)(12)(13 22)(15 31)(16)(17 25)(19)(21 29)(23)(27) ( 1 8)( 2 4)( 3 6)( 5 7)( 9 14)(10)(11 16)(12)(13)(15)(17 24)(18 20)(19 22)(21 23)(25 30)(26)(27 31)(28)(29) ( 1 8 26)( 2 4 10)( 3 14 18)( 5 24 25)( 6 20 9)( 7 30 17)(11 16 28)(12)(13 22 19)(15 31 27)(21 23 29) dihedral O 6 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.001 N= 32 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31)(32) ( 1)( 2 5)( 3)( 4 7)( 6)( 8)( 9 11)(10 15)(12 13)(14 16)(17)(18 21)(19)(20 23)(22)(24)(25 27)(26 31)(28 29)(30 32) ( 1)( 2 17 5)( 3 9 11)( 4 25 15)( 6 18 21)( 7 10 27)( 8 26 31)(12 19 13)(14 28 23)(16 20 29)(22)(24 30 32) ( 1)( 2)( 3 9)( 4 10)( 5 17)( 6 18)( 7 25)( 8 26)(11)(12)(13 19)(14 20)(15 27)(16 28)(21)(22)(23 29)(24 30)(31)(32) ( 1)( 2 17)( 3 11)( 4 27)( 5)( 6 21)( 7 15)( 8 31)( 9)(10 25)(12 19)(13)(14 29)(16 23)(18)(20 28)(22)(24 32)(26)(30) ( 1)( 2 5 17)( 3 11 9)( 4 15 25)( 6 21 18)( 7 27 10)( 8 31 26)(12 13 19)(14 23 28)(16 29 20)(22)(24 32 30) ( 1 26 31 8)( 2 25 32 7)( 3 18 29 16)( 4 17 30 15)( 5 10 27 24)( 6 9 28 23)(11 20 21 14)(12 19 22 13) ( 1 26 8)( 2 10 4)( 3 18 14)( 5 25 24)( 6 9 20)( 7 17 30)(11 28 16)(12)(13 19 22)(15 27 32)(21 29 23)(31) ( 1 26)( 2 10)( 3 20)( 4)( 5 30)( 6 14)( 7 24)( 8)( 9 18)(11 28)(12)(13 22)(15 32)(16)(17 25)(19)(21 29)(23)(27)(31) ( 1 26 31)( 2 30 15)( 3 20 23)( 4 24 7)( 5 10 32)( 6 14 16)( 8)( 9 28 21)(11 18 29)(12 22 13)(17 25 27)(19) ( 1 26)( 2 25)( 3 28)( 4 27)( 5 30)( 6 29)( 7 32)( 8 31)( 9 18)(10 17)(11 20)(12 19)(13 22)(14 21)(15 24)(16 23) ( 1 26 8 31)( 2 30 7 27)( 3 28 6 29)( 4 32 5 25)( 9 20 16 21)(10 24 15 17)(11 18 14 23)(12 22 13 19) ( 1 31 8)( 2 27 24)( 3 21 16)( 4 17 32)( 5 15 7)( 6 11 23)( 9 29 14)(10 25 30)(12 19 22)(13)(18 28 20)(26) ( 1 31 26 8)( 2 15 25 24)( 3 21 28 14)( 4 5 27 30)( 6 11 29 20)( 7 17 32 10)( 9 23 18 16)(12 13 19 22) ( 1 31 26)( 2 15 30)( 3 23 20)( 4 7 24)( 5 32 10)( 6 16 14)( 8)( 9 21 28)(11 29 18)(12 13 22)(17 27 25)(19) ( 1 31)( 2 32)( 3 23)( 4 24)( 5 15)( 6 16)( 7)( 8)( 9 29)(10 30)(11 21)(12 22)(13)(14)(17 27)(18 28)(19)(20)(25)(26) ( 1 31 8 26)( 2 27 7 30)( 3 29 6 28)( 4 25 5 32)( 9 21 16 20)(10 17 15 24)(11 23 14 18)(12 19 13 22) ( 1 31)( 2 32)( 3 29)( 4 30)( 5 27)( 6 28)( 7 25)( 8 26)( 9 23)(10 24)(11 21)(12 22)(13 19)(14 20)(15 17)(16 18) ( 1 8)( 2 4)( 3 6)( 5 7)( 9 14)(10)(11 16)(12)(13)(15)(17 24)(18 20)(19 22)(21 23)(25 30)(26)(27 32)(28)(29)(31) ( 1 8)( 2 7)( 3 6)( 4 5)( 9 16)(10 15)(11 14)(12 13)(17 24)(18 23)(19 22)(20 21)(25 32)(26 31)(27 30)(28 29) ( 1 8 26)( 2 4 10)( 3 14 18)( 5 24 25)( 6 20 9)( 7 30 17)(11 16 28)(12)(13 22 19)(15 32 27)(21 23 29)(31) ( 1 8 26 31)( 2 24 25 15)( 3 14 28 21)( 4 30 27 5)( 6 20 29 11)( 7 10 32 17)( 9 16 18 23)(12 22 19 13) ( 1 8 31 26)( 2 7 32 25)( 3 16 29 18)( 4 15 30 17)( 5 24 27 10)( 6 23 28 9)(11 14 21 20)(12 13 22 19) ( 1 8 31)( 2 24 27)( 3 16 21)( 4 32 17)( 5 7 15)( 6 23 11)( 9 14 29)(10 30 25)(12 22 19)(13)(18 20 28)(26) Tetrahedron C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. "near to symmetry" 0.03 N= 33 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33) ( 1 15 14)( 2)( 3 19 9)( 4 33 23)( 5 28 31)( 6 32 17)( 7 24 13)( 8 18 25)(10)(11 21 20)(12 27 30)(16 29 26)(22) ( 1 14 15)( 2)( 3 9 19)( 4 23 33)( 5 31 28)( 6 17 32)( 7 13 24)( 8 25 18)(10)(11 20 21)(12 30 27)(16 26 29)(22) cyclic O 3 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. "near to symmetry" 0.013 N= 34 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34) ( 1 10)( 2)( 3)( 4 14)( 5 24)( 6 19)( 7 27)( 8 26)( 9 25)(11 28)(12)(13)(15 34)(16 23)(17 32)(18 20)(21)(22)(29)(30)(31 33) mirror O 2 "near to symmetry" 0.038 N= 34 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34) ( 1)( 2 22)( 3 12)( 4 34)( 5 27)( 6 17)( 7 24)( 8)( 9)(10)(11 33)(13 30)(14 15)(16)(18)(19 32)(20)(21 29)(23)(25)(26)(28 31) ( 1 10)( 2)( 3)( 4 14)( 5 24)( 6 19)( 7 27)( 8 26)( 9 25)(11 28)(12)(13)(15 34)(16 23)(17 32)(18 20)(21)(22)(29)(30)(31 33) ( 1 10)( 2 22)( 3 12)( 4 15)( 5 7)( 6 32)( 8 26)( 9 25)(11 31)(13 30)(14 34)(16 23)(17 19)(18 20)(21 29)(24 27)(28 33) dihedral O 4 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.001 N= 35 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)(35) ( 1 29)( 2)( 3 18)( 4 26)( 5 25)( 6 32)( 7 19)( 8 33)( 9 30)(10 15)(11 21)(12 24)(13 14)(16 31)(17 22)(20 28)(23 27)(34 35) ( 1 20)( 2)( 3 24)( 4)( 5)( 6 27)( 7)( 8 14)( 9 34)(10 15)(11 17)(12 18)(13 33)(16)(19)(21 22)(23 32)(25)(26)(28 29)(30 35)(31) ( 1 6 28 23)( 2)( 3 34 12 30)( 4 19 26 7)( 5 31 25 16)( 8 22 13 11)( 9 18 35 24)(10)(14 21 33 17)(15)(20 27 29 32) ( 1 23 28 6)( 2)( 3 30 12 34)( 4 7 26 19)( 5 16 25 31)( 8 11 13 22)( 9 24 35 18)(10)(14 17 33 21)(15)(20 32 29 27) ( 1 27 28 32)( 2)( 3 9 12 35)( 4 19 26 7)( 5 31 25 16)( 6 29 23 20)( 8 21 13 17)(10 15)(11 14 22 33)(18 30 24 34) ( 1 28)( 2)( 3 12)( 4 26)( 5 25)( 6 23)( 7 19)( 8 13)( 9 35)(10)(11 22)(14 33)(15)(16 31)(17 21)(18 24)(20 29)(27 32)(30 34) ( 1 32 28 27)( 2)( 3 35 12 9)( 4 7 26 19)( 5 16 25 31)( 6 20 23 29)( 8 17 13 21)(10 15)(11 33 22 14)(18 34 24 30) dihedral O 8 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. N= 36 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 37 0.001 0.001 N= 37 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)(35)(36)(37) ( 1 17 35)( 2 5 14)( 3 12 33)( 4 11 32)( 6 26 19)( 7 21 27)( 8 16 34)( 9 30 15)(10 18 36)(13 31 29)(20 22 25)(23 28 37)(24) ( 1 35 17)( 2 14 5)( 3 33 12)( 4 32 11)( 6 19 26)( 7 27 21)( 8 34 16)( 9 15 30)(10 36 18)(13 29 31)(20 25 22)(23 37 28)(24) cyclic O 3 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.001 N= 38 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)(35)(36)(37)(38) ( 1)( 2)( 3 5 7)( 4 6 8)( 9 11 13)(10 12 14)(15 17 19)(16 18 20)(21 23 25)(22 24 26)(27 29 31)(28 30 32)(33 35 37)(34 36 38) ( 1)( 2)( 3 7 5)( 4 8 6)( 9 13 11)(10 14 12)(15 19 17)(16 20 18)(21 25 23)(22 26 24)(27 31 29)(28 32 30)(33 37 35)(34 38 36) ( 1 2)( 3 6)( 4 7)( 5 8)( 9 12)(10 13)(11 14)(15 18)(16 19)(17 20)(21 24)(22 25)(23 26)(27 30)(28 31)(29 32)(33 36)(34 37)(35 38) ( 1 2)( 3 8 7 6 5 4)( 9 14 13 12 11 10)(15 20 19 18 17 16)(21 26 25 24 23 22)(27 32 31 30 29 28)(33 38 37 36 35 34) ( 1 2)( 3 4 5 6 7 8)( 9 10 11 12 13 14)(15 16 17 18 19 20)(21 22 23 24 25 26)(27 28 29 30 31 32)(33 34 35 36 37 38) cyclic O 6 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.001 N= 39 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)(35)(36)(37)(38)(39) ( 1 30)( 2 34)( 3 11)( 4)( 5 38)( 6 23)( 7)( 8 15)( 9)(10)(12 16)(13 27)(14)(17 26)(18 24)(19 32)(20 28)(21 36)(22)(25 33)(29 37)(31)(35)(39) mirror O 2 "near to symmetry": 0.012 N= 39 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)(35)(36)(37)(38)(39) ( 1 30)( 2 34)( 3 11)( 4)( 5 38)( 6 23)( 7)( 8 15)( 9)(10)(12 16)(13 27)(14)(17 26)(18 24)(19 32)(20 28)(21 36)(22)(25 33)(29 37)(31)(35)(39) ( 1 31)( 2 35)( 3 10)( 4)( 5 39)( 6 22)( 7)( 8 14)( 9)(11)(12 26)(13 17)(15)(16 27)(18 33)(19 25)(20 37)(21 29)(23)(24 32)(28 36)(30)(34)(38) ( 1 30 31)( 2 34 35)( 3 11 10)( 4)( 5 38 39)( 6 23 22)( 7)( 8 15 14)( 9)(12 27 17)(13 16 26)(18 32 25)(19 24 33)(20 36 29)(21 28 37) ( 1 31 30)( 2 35 34)( 3 10 11)( 4)( 5 39 38)( 6 22 23)( 7)( 8 14 15)( 9)(12 17 27)(13 26 16)(18 25 32)(19 33 24)(20 29 36)(21 37 28) ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10 11)(12 13)(14 15)(16 17)(18 19)(20 21)(22 23)(24 25)(26 27)(28 29)(30 31)(32 33)(34 35)(36 37)(38 39) dihedral O 6 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.001 N= 40 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)(35)(36)(37)(38)(39)(40) ( 1)( 2)( 3)( 4 11)( 5 12)( 6 21)( 7 22)( 8 23)( 9 31)(10 32)(13)(14)(15)(16 24)(17 25)(18 33)(19 34)(20 35)(26)(27)(28)(29 36)(30 37)(38)(39)(40) ( 1 40)( 2 39)( 3 38)( 4 30)( 5 29)( 6 20)( 7 19)( 8 18)( 9 10)(11 37)(12 36)(13 28)(14 27)(15 26)(16 17)(21 35)(22 34)(23 33)(24 25)(31 32) ( 1 40)( 2 39)( 3 38)( 4 37)( 5 36)( 6 35)( 7 34)( 8 33)( 9 32)(10 31)(11 30)(12 29)(13 28)(14 27)(15 26)(16 25)(17 24)(18 23)(19 22)(20 21) ( 1 3)( 2)( 4 5)( 6 8)( 7)( 9 10)(11 12)(13 15)(14)(16 17)(18 20)(19)(21 23)(22)(24 25)(26 28)(27)(29 30)(31 32)(33 35)(34)(36 37)(38 40)(39) ( 1 3)( 2)( 4 12)( 5 11)( 6 23)( 7 22)( 8 21)( 9 32)(10 31)(13 15)(14)(16 25)(17 24)(18 35)(19 34)(20 33)(26 28)(27)(29 37)(30 36)(38 40)(39) ( 1 38)( 2 39)( 3 40)( 4 29)( 5 30)( 6 18)( 7 19)( 8 20)( 9)(10)(11 36)(12 37)(13 26)(14 27)(15 28)(16)(17)(21 33)(22 34)(23 35)(24)(25)(31)(32) ( 1 38)( 2 39)( 3 40)( 4 36)( 5 37)( 6 33)( 7 34)( 8 35)( 9 31)(10 32)(11 29)(12 30)(13 26)(14 27)(15 28)(16 24)(17 25)(18 21)(19 22)(20 23) C2 x C2 x C2 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. N= 41 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. "near to symmetry": 0.042 N= 42 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)(35)(36)(37)(38)(39)(40)(41)(42) ( 1 4)( 2 8)( 3 41)( 5 12)( 6 30)( 7 19)( 9 11)(10 31)(13 14)(15 20)(16 26)(17 38)(18 32)(21 24)(22 34)(23 28)(25 29)(27 33)(35 40)(36 37)(39 42) cyclic O 2 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. N= 43 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. "near to symmetry" 0.023 N= 44 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)(35)(36)(37)(38)(39)(40)(41)(42)(43)(44) ( 1 20)( 2 37)( 3 31)( 4 38)( 5 9)( 6 13)( 7 39)( 8 15)(10 40)(11 27)(12 44)(14 34)(16 29)(17 19)(18 30)(21 33)(22 43)(23 24)(25 36)(26 32)(28 35)(41 42) cyclic O 2 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.001 N= 45 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)(35)(36)(37)(38)(39)(40)(41)(42)(43)(44)(45) ( 1 7)( 2 20)( 3 26)( 4 31)( 5 45)( 6)( 8 32)( 9)(10)(11 22)(12 29)(13 21)(14 17)(15)(16 34)(18)(19 40)(23 35)(24 38)(25)(27 43)(28)(30 36)(33 37)(39)(41)(42 44) mirror O 2 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. "near to symmetry": 0.011 N= 46 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)(35)(36)(37)(38)(39)(40)(41)(42)(43)(44)(45)(46) ( 1 11)( 2 45)( 3 5)( 4 14)( 6 20)( 7)( 8 28)( 9 24)(10)(12 18)(13 22)(15)(16)(17 29)(19 25)(21 42)(23 39)(26 43)(27 32)(30)(31)(33 36)(34 38)(35 46)(37)(40)(41)(44) mirror O 2 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. Entsteht durch Weglassen einer beliebigen Kugel aus der fuer N=48 optimalen Konfigration N= 47 0.001 N= 47 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)(35)(36)(37)(38)(39)(40)(41)(42)(43)(44)(45)(46)(47) ( 1 45)( 2 46)( 3 47)( 4 33)( 5 34)( 6 35)( 7 21)( 8 22)( 9 23)(10)(11)(12 42)(13 43)(14 44)(15 30)(16 31)(17 32)(18)(19)(20)(24 39)(25 40)(26 41)(27)(28)(29)(36)(37)(38) mirror O 2 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.001 N= 48 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)(35)(36)(37)(38)(39)(40)(41)(42)(43)(44)(45)(46)(47)(48) ( 1)( 2)( 3)( 4 13)( 5 14)( 6 15)( 7 25)( 8 26)( 9 27)(10 37)(11 38)(12 39)(16)(17)(18)(19 28)(20 29)(21 30)(22 40)(23 41)(24 42)(31)(32)(33)(34 43)(35 44)(36 45)(46)(47)(48) ( 1 12 46 39)( 2 11 47 38)( 3 10 48 37)( 4 24 43 27)( 5 23 44 26)( 6 22 45 25)( 7 36 40 15)( 8 35 41 14)( 9 34 42 13)(16 21 31 30)(17 20 32 29)(18 19 33 28) ( 1 12)( 2 11)( 3 10)( 4 9)( 5 8)( 6 7)(13 24)(14 23)(15 22)(16 21)(17 20)(18 19)(25 36)(26 35)(27 34)(28 33)(29 32)(30 31)(37 48)(38 47)(39 46)(40 45)(41 44)(42 43) ( 1 39)( 2 38)( 3 37)( 4 42)( 5 41)( 6 40)( 7 45)( 8 44)( 9 43)(10 48)(11 47)(12 46)(13 27)(14 26)(15 25)(16 30)(17 29)(18 28)(19 33)(20 32)(21 31)(22 36)(23 35)(24 34) ( 1 39 46 12)( 2 38 47 11)( 3 37 48 10)( 4 27 43 24)( 5 26 44 23)( 6 25 45 22)( 7 15 40 36)( 8 14 41 35)( 9 13 42 34)(16 30 31 21)(17 29 32 20)(18 28 33 19) ( 1 46)( 2 47)( 3 48)( 4 34)( 5 35)( 6 36)( 7 22)( 8 23)( 9 24)(10)(11)(12)(13 43)(14 44)(15 45)(16 31)(17 32)(18 33)(19)(20)(21)(25 40)(26 41)(27 42)(28)(29)(30)(37)(38)(39) ( 1 46)( 2 47)( 3 48)( 4 43)( 5 44)( 6 45)( 7 40)( 8 41)( 9 42)(10 37)(11 38)(12 39)(13 34)(14 35)(15 36)(16 31)(17 32)(18 33)(19 28)(20 29)(21 30)(22 25)(23 26)(24 27) dihedral O 8 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. "near to symmetry": 0.013 N= 49 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)(35)(36)(37)(38)(39)(40)(41)(42)(43)(44)(45)(46)(47)(48)(49) ( 1 22)( 2 21)( 3 32)( 4 33)( 5 45)( 6 31)( 7 43)( 8 11)( 9 40)(10 44)(12 25)(13 26)(14 27)(15 48)(16 42)(17 46)(18 35)(19 28)(20 24)(23 37)(29)(30 47)(34 38)(36 41)(39 49) cyclic O 2 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. N= 50 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. "near to symmetry" 0.036 N= 51 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)(35)(36)(37)(38)(39)(40)(41)(42)(43)(44)(45)(46)(47)(48)(49)(50)(51) ( 1 29)( 2 22)( 3 45)( 4 27)( 5 41)( 6 47)( 7 20)( 8 34)( 9 50)(10 42)(11 21)(12 17)(13 24)(14)(15 44)(16 37)(18 46)(19 43)(23 28)(25 51)(26 30)(31 49)(32 35)(33 36)(38 40)(39 48) cyclic O 2 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. N= 52 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. N= 53 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. N= 54 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. N= 55 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. N= 56 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. Die Konfigurationen fuer N=57 bis N=62 entstehen durch Weglassen beliebiger Kugeln aus der fuer N=63 optimalen Konfiguration und sind damit nur als Beispiele fuer weitere Moeglichkeiten zu betrachten. C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.001 N= 57 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)(35)(36)(37)(38)(39)(40)(41)(42)(43)(44)(45)(46)(47)(48)(49)(50)(51)(52)(53)(54)(55)(56)(57) ( 1)( 2)( 3)( 4 13)( 5 14)( 6 25)( 7 26)( 8 34)( 9 35)(10 46)(11 47)(12 48)(15)(16)(17)(18 27)(19 28)(20 36)(21 37)(22 38)(23 49)(24 50)(29)(30 39)(31 40)(32 51)(33 52)(41)(42)(43)(44 53)(45 54)(55)(56)(57) ( 1 10)( 2 11)( 3 12)( 4 8)( 5 9)( 6)( 7)(13 23)(14 24)(15 20)(16 21)(17 22)(18)(19)(25 32)(26 33)(27 30)(28 31)(29)(34 44)(35 45)(36 41)(37 42)(38 43)(39)(40)(46 55)(47 56)(48 57)(49 53)(50 54)(51)(52) ( 1 10 55 46)( 2 11 56 47)( 3 12 57 48)( 4 23 53 34)( 5 24 54 35)( 6 32 51 25)( 7 33 52 26)( 8 44 49 13)( 9 45 50 14)(15 20 41 36)(16 21 42 37)(17 22 43 38)(18 30 39 27)(19 31 40 28)(29) ( 1 46 55 10)( 2 47 56 11)( 3 48 57 12)( 4 34 53 23)( 5 35 54 24)( 6 25 51 32)( 7 26 52 33)( 8 13 49 44)( 9 14 50 45)(15 36 41 20)(16 37 42 21)(17 38 43 22)(18 27 39 30)(19 28 40 31)(29) ( 1 46)( 2 47)( 3 48)( 4 49)( 5 50)( 6 51)( 7 52)( 8 53)( 9 54)(10 55)(11 56)(12 57)(13 34)(14 35)(15 36)(16 37)(17 38)(18 39)(19 40)(20 41)(21 42)(22 43)(23 44)(24 45)(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33) ( 1 55)( 2 56)( 3 57)( 4 44)( 5 45)( 6 32)( 7 33)( 8 23)( 9 24)(10)(11)(12)(13 53)(14 54)(15 41)(16 42)(17 43)(18 30)(19 31)(20)(21)(22)(25 51)(26 52)(27 39)(28 40)(29)(34 49)(35 50)(36)(37)(38)(46)(47)(48) ( 1 55)( 2 56)( 3 57)( 4 53)( 5 54)( 6 51)( 7 52)( 8 49)( 9 50)(10 46)(11 47)(12 48)(13 44)(14 45)(15 41)(16 42)(17 43)(18 39)(19 40)(20 36)(21 37)(22 38)(23 34)(24 35)(25 32)(26 33)(27 30)(28 31)(29) dihedral O 8 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.001 N= 58 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)(35)(36)(37)(38)(39)(40)(41)(42)(43)(44)(45)(46)(47)(48)(49)(50)(51)(52)(53)(54)(55)(56)(57)(58) ( 1)( 2)( 3)( 4 13)( 5 14)( 6 25)( 7 26)( 8 35)( 9 36)(10 47)(11 48)(12 49)(15)(16)(17)(18 27)(19 28)(20 37)(21 38)(22 39)(23 50)(24 51)(29)(30)(31 40)(32 41)(33 52)(34 53)(42)(43)(44)(45 54)(46 55)(56)(57)(58) ( 1 58)( 2 57)( 3 56)( 4 46)( 5 45)( 6 34)( 7 33)( 8 24)( 9 23)(10 12)(11)(13 55)(14 54)(15 44)(16 43)(17 42)(18 32)(19 31)(20 22)(21)(25 53)(26 52)(27 41)(28 40)(29 30)(35 51)(36 50)(37 39)(38)(47 49)(48) ( 1 58)( 2 57)( 3 56)( 4 55)( 5 54)( 6 53)( 7 52)( 8 51)( 9 50)(10 49)(11 48)(12 47)(13 46)(14 45)(15 44)(16 43)(17 42)(18 41)(19 40)(20 39)(21 38)(22 37)(23 36)(24 35)(25 34)(26 33)(27 32)(28 31)(29 30) ( 1 3)( 2)( 4 5)( 6 7)( 8 9)(10 12)(11)(13 14)(15 17)(16)(18 19)(20 22)(21)(23 24)(25 26)(27 28)(29 30)(31 32)(33 34)(35 36)(37 39)(38)(40 41)(42 44)(43)(45 46)(47 49)(48)(50 51)(52 53)(54 55)(56 58)(57) ( 1 3)( 2)( 4 14)( 5 13)( 6 26)( 7 25)( 8 36)( 9 35)(10 49)(11 48)(12 47)(15 17)(16)(18 28)(19 27)(20 39)(21 38)(22 37)(23 51)(24 50)(29 30)(31 41)(32 40)(33 53)(34 52)(42 44)(43)(45 55)(46 54)(56 58)(57) ( 1 10)( 2 11)( 3 12)( 4 8)( 5 9)( 6)( 7)(13 23)(14 24)(15 20)(16 21)(17 22)(18)(19)(25 33)(26 34)(27 31)(28 32)(29)(30)(35 45)(36 46)(37 42)(38 43)(39 44)(40)(41)(47 56)(48 57)(49 58)(50 54)(51 55)(52)(53) ( 1 10 56 47)( 2 11 57 48)( 3 12 58 49)( 4 23 54 35)( 5 24 55 36)( 6 33 52 25)( 7 34 53 26)( 8 45 50 13)( 9 46 51 14)(15 20 42 37)(16 21 43 38)(17 22 44 39)(18 31 40 27)(19 32 41 28)(29)(30) ( 1 12 56 49)( 2 11 57 48)( 3 10 58 47)( 4 24 54 36)( 5 23 55 35)( 6 34 52 26)( 7 33 53 25)( 8 46 50 14)( 9 45 51 13)(15 22 42 39)(16 21 43 38)(17 20 44 37)(18 32 40 28)(19 31 41 27)(29 30) ( 1 12)( 2 11)( 3 10)( 4 9)( 5 8)( 6 7)(13 24)(14 23)(15 22)(16 21)(17 20)(18 19)(25 34)(26 33)(27 32)(28 31)(29 30)(35 46)(36 45)(37 44)(38 43)(39 42)(40 41)(47 58)(48 57)(49 56)(50 55)(51 54)(52 53) ( 1 47 56 10)( 2 48 57 11)( 3 49 58 12)( 4 35 54 23)( 5 36 55 24)( 6 25 52 33)( 7 26 53 34)( 8 13 50 45)( 9 14 51 46)(15 37 42 20)(16 38 43 21)(17 39 44 22)(18 27 40 31)(19 28 41 32)(29)(30) ( 1 47)( 2 48)( 3 49)( 4 50)( 5 51)( 6 52)( 7 53)( 8 54)( 9 55)(10 56)(11 57)(12 58)(13 35)(14 36)(15 37)(16 38)(17 39)(18 40)(19 41)(20 42)(21 43)(22 44)(23 45)(24 46)(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34) ( 1 49)( 2 48)( 3 47)( 4 51)( 5 50)( 6 53)( 7 52)( 8 55)( 9 54)(10 58)(11 57)(12 56)(13 36)(14 35)(15 39)(16 38)(17 37)(18 41)(19 40)(20 44)(21 43)(22 42)(23 46)(24 45)(25 26)(27 28)(29 30)(31 32)(33 34) ( 1 49 56 12)( 2 48 57 11)( 3 47 58 10)( 4 36 54 24)( 5 35 55 23)( 6 26 52 34)( 7 25 53 33)( 8 14 50 46)( 9 13 51 45)(15 39 42 22)(16 38 43 21)(17 37 44 20)(18 28 40 32)(19 27 41 31)(29 30) ( 1 56)( 2 57)( 3 58)( 4 45)( 5 46)( 6 33)( 7 34)( 8 23)( 9 24)(10)(11)(12)(13 54)(14 55)(15 42)(16 43)(17 44)(18 31)(19 32)(20)(21)(22)(25 52)(26 53)(27 40)(28 41)(29)(30)(35 50)(36 51)(37)(38)(39)(47)(48)(49) ( 1 56)( 2 57)( 3 58)( 4 54)( 5 55)( 6 52)( 7 53)( 8 50)( 9 51)(10 47)(11 48)(12 49)(13 45)(14 46)(15 42)(16 43)(17 44)(18 40)(19 41)(20 37)(21 38)(22 39)(23 35)(24 36)(25 33)(26 34)(27 31)(28 32)(29)(30) D8 x C2 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.001 N= 59 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)(35)(36)(37)(38)(39)(40)(41)(42)(43)(44)(45)(46)(47)(48)(49)(50)(51)(52)(53)(54)(55)(56)(57)(58)(59) ( 1 3)( 2)( 4 5)( 6 7)( 8 9)(10 12)(11)(13 14)(15 17)(16)(18 19)(20 22)(21)(23 24)(25 27)(26)(28 29)(30 31)(32 33)(34 35)(36 37)(38 40)(39)(41 42)(43 45)(44)(46 47)(48 50)(49)(51 52)(53 54)(55 56)(57 59)(58) ( 1 48)( 2 49)( 3 50)( 4 51)( 5 52)( 6 53)( 7 54)( 8 55)( 9 56)(10 57)(11 58)(12 59)(13 36)(14 37)(15 38)(16 39)(17 40)(18 41)(19 42)(20 43)(21 44)(22 45)(23 46)(24 47)(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)(35) ( 1 50)( 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N= 64 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. N= 65 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. 0.001 N= 66 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)(35)(36)(37)(38)(39)(40)(41)(42)(43)(44)(45)(46)(47)(48)(49)(50)(51)(52)(53)(54)(55)(56)(57)(58)(59)(60)(61)(62)(63)(64)(65)(66) ( 1)( 2)( 3 39)( 4 65)( 5 8)( 6 22)( 7 14)( 9)(10 53)(11 27)(12 54)(13)(15 62)(16 18)(17 55)(19 46)(20 47)(21 31)(23)(24 66)(25 26)(28 36)(29 52)(30)(32 43)(33)(34 40)(35)(37 41)(38 59)(42)(44)(45 50)(48)(49 64)(51 57)(56)(58)(60 63)(61) mirror O 2 "near to symmetry": 0.031 N= 66 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)(35)(36)(37)(38)(39)(40)(41)(42)(43)(44)(45)(46)(47)(48)(49)(50)(51)(52)(53)(54)(55)(56)(57)(58)(59)(60)(61)(62)(63)(64)(65)(66) ( 1)( 2)( 3 39)( 4 65)( 5 8)( 6 22)( 7 14)( 9)(10 53)(11 27)(12 54)(13)(15 62)(16 18)(17 55)(19 46)(20 47)(21 31)(23)(24 66)(25 26)(28 36)(29 52)(30)(32 43)(33)(34 40)(35)(37 41)(38 59)(42)(44)(45 50)(48)(49 64)(51 57)(56)(58)(60 63)(61) ( 1)( 2 44)( 3 21)( 4 5)( 6)( 7 43)( 8 65)( 9)(10 47)(11)(12)(13 58)(14 32)(15)(16 17)(18 55)(19 34)(20 53)(22)(23 42)(24 38)(25 36)(26 28)(27)(29 45)(30 35)(31 39)(33 61)(37 63)(40 46)(41 60)(48 56)(49)(50 52)(51)(54)(57)(59 66)(62)(64) ( 1)( 2 44)( 3 31)( 4 8)( 5 65)( 6 22)( 7 32)( 9)(10 20)(11 27)(12 54)(13 58)(14 43)(15 62)(16 55)(17 18)(19 40)(21 39)(23 42)(24 59)(25 28)(26 36)(29 50)(30 35)(33 61)(34 46)(37 60)(38 66)(41 63)(45 52)(47 53)(48 56)(49 64)(51 57) dihedral O 4 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. "near to symmetry" 0.010 N= 67 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)(35)(36)(37)(38)(39)(40)(41)(42)(43)(44)(45)(46)(47)(48)(49)(50)(51)(52)(53)(54)(55)(56)(57)(58)(59)(60)(61)(62)(63)(64)(65)(66)(67) ( 1 54 14 53)( 2 29 6 18)( 3 58 32 66)( 4 38 40 63)( 5)( 7 55 9 51)( 8 17 61 19)(10 67 25 13)(11 34 30 37)(12 24 46 33)(15 52 20 50)(16 43 56 59)(21 23 45 31)(22 36 62 60)(26 35 64 49)(27 42 48 44)(28 39 41 57)(47)(65) ( 1 14)( 2 6)( 3 32)( 4 40)( 5)( 7 9)( 8 61)(10 25)(11 30)(12 46)(13 67)(15 20)(16 56)(17 19)(18 29)(21 45)(22 62)(23 31)(24 33)(26 64)(27 48)(28 41)(34 37)(35 49)(36 60)(38 63)(39 57)(42 44)(43 59)(47)(50 52)(51 55)(53 54)(58 66)(65) ( 1 53 14 54)( 2 18 6 29)( 3 66 32 58)( 4 63 40 38)( 5)( 7 51 9 55)( 8 19 61 17)(10 13 25 67)(11 37 30 34)(12 33 46 24)(15 50 20 52)(16 59 56 43)(21 31 45 23)(22 60 62 36)(26 49 64 35)(27 44 48 42)(28 57 41 39)(47)(65) cyclic O 4 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. N= 68 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. N= 69 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. N= 70 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. N= 71 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7.. N= 72 C...+....1....+....2....+....3....+....4....+....5....+....6....+....7..